EQUATIONS D'ATTITUDE D'UN SATELLITE

	CONTENU : Mis à jour juillet 2000, revu sept 2011 I Fondements théoriques Notations Equation d'évolution de la Matrice de passage repère inertiel - repère satellite II Equations du mouvement Système différentiel III Repérage de l'attitude satellite Calcul de la rotation instantanée IV Dynamique générale du satellite

Nous abordons dans ce cours de mécanique classique le problème de la résolution numérique des équations du mouvement d'un satellite autour de son centre d'inertie G. Ce problème se pose inévitablement quand on veut contrôler l'orientation d'un satellite dans l'espace.

NB : les calculs peuvent tout aussi bien s'appliquer à des problèmes de gyroscopie, pour des solides en mouvement autour d'un point fixe d'un repère inertiel.

J'espère ainsi rendre service à ceux qui entreprennent des projets ou des études de stabilisation d'un satellite. Le but est surtout pratique, puisque orienté vers le traitement numérique des équations.

I FONDEMENTS THEORIQUES :

S désigne le satellite, Ra la base inertielle I J K, R le repère i j k lié à S, G le centre d'inertie.

1°) NOTATIONS :

La figure est celle du cas général, d'un mouvement de rotation autour du centre d'inerte.

Le vecteur rotation absolu, traduit en axes relatifs du repère R
La matrice centrale d'inertie du satellite dans les axes de R
Le moment MG calculé en G de l'ensemble des actions extérieures
P la matrice de passage de la base inertielle Ra à la base relative R
A la matrice de passage de la base inertielle R à la base relative Ra

2°) Equation d'évolution de la matrice P ou de A :

Sur le plan pratique, nous devons en général étudier l'attitude du satellite par rapport à la base inertielle Ra. Cela signifie que la connaissance de l'orientation des axes ijk, liés au satellite, est indispensable. D'où la nécessité de connaître à chaque instant la matrice P ou son inverse (ici transposée ) A.

Il nous faut donc établir l'équation d'évolution de A ou P, en fonction du temps t. Nous partons de la définition de A, par exemple

Le calcul de la dérivée est simple avec:

Le lecteur effectuera les calculs de dérivation, terme à terme et vérifiera sans peine que A vérifie une équation différentielle matricielle, linéaire, utilisant une matrice W* construite à partir de W :

Naturellement P vérifie une équation analogue, obtenue par transposition de celle vérifiée par A, soit :

II EQUATIONS DU MOUVEMENT DE ROTATION :

Etablissons l'ensemble des équations permettant la résolution du problème.

1°) Equations de la mécanique :

La mécanique générale et le théorème du moment cinétique, appliqué au satellite, en son centre d'inertie et projeté sur les axes mobiles du repère R lié au satellite, donnent :

Nous obtenons donc 3 équations scalaires, qui fourniront le vecteur rotation ou encore p, q, r.

2°) Autre usage de P ou de A :

Tous ceux qui s'intéressent au comportement d'un satellite autour de son centre d'inertie G, savent que les couples agissant sur ce satellite sont d'origine diverses.

• Couple aérodynamique, plutôt exprimé dans la base absolue, puisque lié à la vitesse.
• Couple de gradient de gravité, exprimé en axes satellite.
• Couple perturbateur du à la pression photonique, connu en axes inertiels, car dépendant de l'orientation par rapport aux rayons solaires.
• Eventuellement des couples de commande créés par des actuateurs de contrôle de l'attitude, couples donnés en axes satellite.

Il apparaît donc que pour obtenir le moment résultant M_G en axes satellite, il faut utiliser la matrice A.

On en déduit que le calcul de p, q, r ne peut être dissocié de celui de la matrice P ou A.

3°) SYSTEME DIFFERENTIEL COMPLET DU MOUVEMENT :

La synthèse des calculs ci dessus donne l'ensemble des équations suivantes, équivalent à 12 équations scalaires( 3 pour la rotation, 9 pour la matrice P ou A ) à traiter en parallèle, avec les 12 conditions initiales:

NB : Suivant un conseil de spécialistes, mais que je n'ai pas vérifié, ni expérimenté à ce jour, la vérification de la précision du calcul peut être réalisée en scrutant l'évolution de la matrice produit M = A.^tA qui doit rester symétrique, ce qui mathématiquement est vrai.

III Repérage de l'attitude du satellite. Cinématique d'attitude :

Nous limitons l'exposé au strict nécessaire du cas étudié, à savoir un satellite sur orbite circulaire, avec pointage Terre.

Qu'appelle-t-on pointage Terre?

On appelle ainsi une configuration de la plate-forme qui présente toujours un axe d'inertie (axe de lacet z) pointé vers le centre de la Terre. Cette configuration est particulièrement adaptée en imagerie et surveillance de la terre ou en télécommunications spatiales.

Nous nous intéressons ici uniquement à l'aspect mécanique du problème.

1°) Notations et repères de références :

Donnons ici les repères utiles pour la partie mécanique

a) Héliocentrique

Le repère inertiel (galiléen = absolu) de base est héliocentrique avec comme origine le Soleil et des axes de directions stellaires.

RH: S, XE, YE, ZE "Héliocentrique écliptique" pour l'étude des transferts interplanétaires.

XE suivant la ligne vernale

XE, YE plan écliptique

ZE vers le nord écliptique

b) Géocentrique

RT: XT,YT, ZT "Géocentrique équatorial" également inertiel pour les mouvements autour de la Terre avec comme origine le centre de la Terre.

XT=XE

ZT suivant l'axe des pôles "vers l'étoile polaire"

XT, YT est le plan équatorial terrestre.

La matrice de passage de RE à RT est P1 où e désigne l'angle d'inclinaison de l'équateur terrestre sur l'écliptique e=23°27'

c) Orbital terrestre local

Ro: X, Y, Z non inertiel, en rotation uniforme par rapport à RT, en hypothèse képlérienne dans le cas de l'orbite circulaire.

Origine S qui est la position du satellite à l'instant t sur l'orbite circulaire

X suivant la tangente à l'orbite, X porte le vecteur vitesse

Z suivant la verticale ascendante

Y perpendiculaire au plan orbital ou encore parallèle au moment cinétique.

On notera dans tout l'exposé wo la pulsation orbitale sur l'orbite circulaire de rayon a

Le vecteur rotation instantanée de Ro par rapport à un repère inertiel d'origine Terre est

d) G x y z lié au satellite

Ne perdons pas de vue que c'est l'attitude de ce repère R qui est en permanence sous la surveillance du système SCAO. La connaissance de son orientation est donc capitale.

Nous définissons ici les angles conventionnels de

Roulis f mesuré autour de x ( voisin de X lorsque les angles sont petits)

Tangage q mesuré autour de b ( voisin de Y lorsque les angles sont petits)

Lacet y mesuré autour de Z

La page précédente explicite clairement les 3 angles en question, il suffit simplement de savoir que l'axe a est la projection sur le plan horizontal X, Y de l'axe x.

2°) Calcul de la rotation instantanée (angles quelconques) :

Exprimé dans les axes satellites le vecteur rotation instantanée absolue a pour composantes (celles qui seraient mesurées par des gyroscopes) :

Vous noterez qu'il s'agit de la rotation galiléenne et que la rotation qu'il faut annuler quand on souhaite obtenir un pointage Terre parfait est la rotation relative au repère orbital de composantes en roulis, tangage et lacet:

Telles seront les composantes de la rotation satellite à prendre en compte lors de l'acquisition grands angles et pendant la phase de réduction des vitesses angulaires, nécessaire en particulier lors de l'utilisation du gradient de gravité pour qu'il y ait capture

Cas des petits angles en pointage fin ou en configuration nominale sous surveillance par SCAO

IV DYNAMIQUE DU SATELLITE (A ELEMENTS RIGIDES ):

Ce paragraphe capital sera une référence pour la plupart des cours de SCAO présents sur ce site.

1°) CONVENTIONS ET DEFINITIONS :

Un satellite, une station spatiale ou un lanceur est constitué:

 d'un corps principal solide appelé S, dont l'attitude est la plus importante

 de parties annexes solides quelquefois mobiles en rotation, constituant:

des équipements scientifiques (caméras,...)

des actionneurs de contrôle ( roues ou volants à inertie )

des systèmes d'enregistrement ( enregistreurs d'images...)

des moteurs de commande ( de panneaux solaires, d'antennes, de roues de réaction, de fusées de commandes...), etc...

Nous noterons :

	Le moment cinétique total satellite + équipements mobiles
	Le vecteur rotation instantanée inertiel de S, exprimé dans des axes principaux et liés à S, nommés i j k.
	Le tenseur d'inertie de l'ensemble supposé "solidifié", exprimé dans des axes i j k principaux et liés au satellite
	Le moment cinétique de S, exprimé dans les axes principaux du satellite, liés à S, nommés i j k. En pratique, c'est le moment cinétique du satellite où tous les éléments tournants sont supposés bloqués sur leurs paliers.
IRi	Le moment d'inertie axial d'une roue indexée par i
	La mesure de la rotation axiale de la roue i, par rapport au satellite
ik	Le moment d'inertie axial d'un équipement tournant indexé par k
wk	La mesure de la rotation axiale par rapport au satellite, de l'équipement mobile k.
	Le couple de commande des actionneurs, souvent appelés "thrusters"
	La résultante des couples perturbateurs externes (gradient de gravité, magnétiques aérodynamiques ….)
	La résultante des couples externes, soit de commande( tuyères,... ), soit perturbateurs
	La résultante des couples perturbateurs internes

 1°) MOMENTS CINETIQUES :

Le lecteur utilisera ses connaissances en mécanique du solide et des systèmes pour établir que :

Voir un exemple simple et une interprétation des équations

 2°) EQUATIONS GENERALES :

Le théorème du moment satellite nécessairement appliqué en axes inertiels donne :

La forme la plus naturelle pour présenter l'équation est de privilégier la partie fixe( dans l'immédiat seule intéressante ) et de mettre en évidence le rôle des différents termes de l'équation.

Plus simplement, nous pouvons regrouper les termes du second membre :

	Considéré comme la commande imposée, avec les couples externes et l'effet de réaction des roues sur le satellite, à voir comme des couples de commande internes
	Apparaissant comme résultante des perturbations. Avec la perturbation externe inévitable, l'effet de réaction des mécanismes internes mis en mouvement, et de termes d'origine gyroscopique inévitables lorsque les rotations concernées ne sont pas colinéaires.

Ces équations exprimées en axes relatifs liés au satellite donneront les équations de la dynamique du satellite, permettant le calcul des composantes p, q, r de la rotation instantanée.

Un pas d'intégration supplémentaire accompagné des équations cinématiques reliant rotation, angles et repère fourniront l'attitude du satellite. 

a) EXEMPLE SIMPLE DU SOLIDE SANS ROUES, SOUS COMMANDE OU PERTURBATIONS :

Le lecteur se convaincra de l'ensemble des relations formant le système du mouvement, où P désigne la matrice de passage du repère satellite S au repère inertiel:

b) SOLIDE SANS ROUES, SOUS COMMANDE OU PERTURBATIONS :

Les vitesses angulaires restent alors très faibles ce qui permet de négliger les termes non linéaires de couplage entre axes. Les équations deviennent alors :

c) SOLIDE SANS ROUES, EN POINTGE INERTIEL, SOUS COMMANDE OU PERTURBATIONS :

Les angles utilisés sont alors petits et s'appellent rappelons le roulis, lacet et tangage. Avec les approximations d'usage les 3 axes se découplent et les équations sont simples :

Guiziou Robert juillet 2000, sept 2011